3.  微觀孔隙結(jié)構(gòu)滲流

宏觀模型中將紙視作為均質(zhì)材料，不能反映孔隙結(jié)構(gòu)對(duì)流動(dòng)的影響。紙的無(wú)序孔隙結(jié)構(gòu)中孔隙率、滲透率、接觸角發(fā)生局部變化，從而可能導(dǎo)致宏觀模型所不能解釋的現(xiàn)象。例如，宏觀模型中假定吸入前緣是均勻推進(jìn)，但這僅是在粘性力占主導(dǎo)時(shí)成立，當(dāng)毛細(xì)力占主導(dǎo)時(shí)，吸入前緣呈指狀突進(jìn)，形成不均勻推進(jìn)的前緣，如圖 4 給出的紙巾浸入墨水所形成的鋸齒狀吸入前緣[12]。Horvath 和 Stanley [13]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)水面上升高度與時(shí)間的冪函數(shù)關(guān)系 L ~ t0.38，這與 Washburn 方程預(yù)測(cè)結(jié)果 L ~ t0.5 不符合，當(dāng)考慮動(dòng)態(tài)滲透率后就能較好的解釋該實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。宏觀模型假定吸入前緣經(jīng)過(guò)后的所有孔隙內(nèi)液體完全飽和，但實(shí)際上部分孔隙的潤(rùn)濕需要一個(gè)過(guò)程甚至是不能被潤(rùn)濕。此外，宏觀模型中一些與紙孔隙結(jié)構(gòu)相關(guān)的參數(shù)，例如滲透率、毛細(xì)壓差等也需要通過(guò)微觀模擬或者實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)確定。

紙孔隙結(jié)構(gòu)內(nèi)滲流模擬分為兩個(gè)步驟，首先需要獲得代表紙微結(jié)構(gòu)的幾何模型，然后在該幾何模型的基礎(chǔ)上求解流動(dòng)控制方程。生成紙維結(jié)構(gòu)的方法大體有根據(jù)紙?jiān)谥圃爝^(guò)程中纖維沉降動(dòng)力學(xué)生成、隨機(jī)生成法、三維重構(gòu)建模、拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)模型等。流動(dòng)控制方程的求解方法可以分為采用有限元或有限容積法計(jì)算方法求解基于連續(xù)介質(zhì)假說(shuō)的控制方程如 NS 方程，以及格子玻爾茲曼介觀模擬方法。下面對(duì)以上方法的一些代表性工作進(jìn)行介紹。

Koponen 等[14]通過(guò)模擬紙制備過(guò)程中纖維在紙厚度方向的沉降過(guò)程生成了紙微結(jié)構(gòu)模型(圖 5(a))，模型生成時(shí)考慮了纖維受力導(dǎo)致的彎曲變形。采用格子玻爾茲曼方法模擬了沿紙厚度方向流動(dòng)的滲透率，模擬得到滲透率與孔隙率之間的關(guān)系(圖 5(b))。并基于數(shù)值模擬結(jié)果給出了預(yù)測(cè)滲透率與孔隙率和纖維半徑之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式。

Becker 和 Wiegmann 等[15] [16]采用隨機(jī)方法生成了碳纖維紙的微結(jié)構(gòu)(圖 6)，所生成的隨機(jī)模型與實(shí)際紙的微結(jié)構(gòu)類似：纖維在紙平面任意分布，在厚度方向?qū)盈B。纖維直徑和孔隙率通過(guò)實(shí)驗(yàn)如 SEM 圖片確定后輸入到模型中。基于生成的隨機(jī)模型，求解了紙內(nèi)的單相流動(dòng)，獲得了紙?jiān)谄矫婧秃穸确较虻臐B透率；同時(shí)通過(guò)求解毛細(xì)兩相流動(dòng)，成功獲得了毛細(xì)力–飽和度曲線以及兩相界面分布。

三維重構(gòu)建模一般是先利用CT或SEM對(duì)紙進(jìn)行二維斷層掃描，得到圖形數(shù)據(jù)庫(kù)，然后對(duì)二維斷層掃描圖樣進(jìn)行三維重建，獲得固體骨架模型。目前空間精度可達(dá)到1 μm，模型還原度高。Mark等基于SEM圖片得到的紙微結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)信息生成了紙的三維微結(jié)構(gòu)模型(圖7)，利用VOF方法通過(guò)求解NS方程模擬了此三維微結(jié)構(gòu)的兩相流動(dòng)，獲得了紙的微結(jié)構(gòu)流動(dòng)參數(shù)(如相對(duì)滲透率)，然后將微觀模擬得打的參數(shù)代入到宏觀兩相流模型中進(jìn)行多尺度模擬[17]。

在隨機(jī)生成或者三維重構(gòu)幾何模型上采用有限元或者有限容積方法求解NS方程，需要大量的網(wǎng)格來(lái)捕捉不規(guī)則區(qū)域的流動(dòng)和熱邊界層，對(duì)計(jì)算資源要求高且耗時(shí)。格子Boltzmann方法(LBM)方法是一種介于分子動(dòng)力學(xué)與連續(xù)介質(zhì)模擬之間介觀模擬方法，處理復(fù)雜邊界非常方便，而且可以自動(dòng)追蹤界面，在多孔介質(zhì)流動(dòng)模擬方面具有突出優(yōu)勢(shì)，因此許多文獻(xiàn)采用該方法模擬了紙微結(jié)構(gòu)內(nèi)的單相流動(dòng)和多相毛細(xì)滲流[9] [14] [18] [19]。基于紙三維微結(jié)構(gòu)重構(gòu)模型，Hyvaluoma等采用LBM模擬了潤(rùn)濕液體在毛細(xì)滲流過(guò)程，模擬得到液滴在紙內(nèi)滲流過(guò)程如圖8所示[9]。Wiklund和Uesaka采用LBM模擬了隨機(jī)生成的二維纖維多孔介質(zhì)內(nèi)的毛細(xì)滲流過(guò)程，數(shù)值模擬結(jié)果展示了孔隙結(jié)構(gòu)內(nèi)的非飽和流動(dòng)現(xiàn)象(圖9)，即吸入前緣經(jīng)過(guò)的區(qū)域有些孔隙沒有被液體潤(rùn)濕，而是仍然由氣相占據(jù)。

隨機(jī)生成和三維重構(gòu)方法都是盡量逼真多孔介質(zhì)真實(shí)不規(guī)則的孔隙微結(jié)構(gòu)。拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)模型則是通過(guò)建立轉(zhuǎn)化原則，將實(shí)際多孔介質(zhì)中的孔隙部分簡(jiǎn)化為由規(guī)則管道和節(jié)點(diǎn)相連的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成，流體在管道和節(jié)點(diǎn)內(nèi)流動(dòng)，不參與流動(dòng)的固體骨架部分則被排除到網(wǎng)絡(luò)以為而忽略。為保證模擬結(jié)果與真實(shí)多孔結(jié)構(gòu)一致，通過(guò)CT掃描技術(shù)等對(duì)實(shí)際多孔介質(zhì)進(jìn)行掃描，獲得孔隙分布的信息，并據(jù)此確定拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)模型中管道和節(jié)點(diǎn)形狀、尺寸、連接特定等參數(shù)，使其流動(dòng)阻力性質(zhì)與真實(shí)孔隙內(nèi)流動(dòng)一致。拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)模型雖然不能完全重現(xiàn)多孔介質(zhì)的內(nèi)局部流動(dòng)分布，但是在很多情況下我們并不關(guān)心每個(gè)孔隙內(nèi)的具體流動(dòng)狀態(tài)，而是多孔介質(zhì)內(nèi)的整體流場(chǎng)分布。拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)模型可以給出多孔介質(zhì)內(nèi)的大致氣液分布界面，壓力分布，流量，滲透概率等等，能夠滿足大部分細(xì)觀滲流問(wèn)題的需要[20]。

Bijeljic等[21]采用拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)模型模擬了重量場(chǎng)下潤(rùn)濕液體在堆積顆粒多孔介質(zhì)內(nèi)的毛細(xì)爬升動(dòng)力過(guò)程。拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)模型由球體和圓管按立方體方式排布而構(gòu)成(圖10)，其中球體和圓管半徑都按實(shí)際多孔介質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)信息給定。即在液體被吸入的初始階段，毛細(xì)力大于重力，液體爬升速度很快，流動(dòng)受粘性力主導(dǎo)，這時(shí)氣液界面分明(即液體飽和度跳躍變化)；當(dāng)液面爬升達(dá)到一定高度以后，毛細(xì)力與重力相當(dāng)，液面上升速度逐漸減慢，這時(shí)氣液界面為多相流區(qū)域(即液體飽和度存在梯度變化)。拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)模型成功預(yù)測(cè)了氣液界面區(qū)域飽和度變化的現(xiàn)象。Pan等采用三維拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)模型模擬了紙表面噴涂液體后的干燥過(guò)程，但該模型的建立并沒有考慮紙的實(shí)際微結(jié)構(gòu)。Ghassemzadeh和Sahimi首先通過(guò)SEM圖片獲得紙的孔隙分布，并在此基礎(chǔ)之上建立了立方體拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)模型描述紙的微結(jié)構(gòu)，模擬了紙的單相和多相流動(dòng)。

作者：馮上升，陳玧如，盧天健，徐 峰

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